2) Вычислите предел: $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Вычислите предел: $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}$:

$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}\cdot\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}=\frac{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}{(3+x)-(3-x)}.$

Знаменатель равен $2x$; при $x\ne0$ сокращаем на $x$ и подставляем $x=0$:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}2=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3.$

Ответ: $\sqrt3$.

2) Вычислите предел: \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}\).