№ 2. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных $n$ дробь принимает натуральные значения: б) $\frac{2n^2-8n+5}{n}$; г) $\frac{(2n-3)^3}{n^3}$; е) $\frac{n^3-6n^2+12n+3}{(n-2)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 2. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных $n$ дробь принимает натуральные значения: б)…$ Фото задания

№ 2. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных $n$ дробь принимает натуральные значения: б) $\frac{2n^2-8n+5}{n}$; г) $\frac{(2n-3)^3}{n^3}$; е) $\frac{n^3-6n^2+12n+3}{(n-2)^2}$.

Accepted Answer

б)

\[\frac{2n^2-8n+5}{n}=2n-8+\frac{5}{n}.\]

Чтобы дробь была натуральным числом, $n$ должно быть делителем числа $5$. При натуральных $n$: $n=1$ или $n=5$.

При $n=1$ значение равно $-1$, не является натуральным. При $n=5$:

\[10-8+1=3.\]

Подходит $n=5$.

г)

\[\frac{(2n-3)^3}{n^3}=\frac{8n^3-36n^2+54n-27}{n^3}=8-\frac{36}{n}+\frac{54}{n^2}-\frac{27}{n^3}.\]

Проверяем натуральные значения. При $n=3$:

\[\frac{(6-3)^3}{3^3}=1.\]

При $n=1$ значение отрицательное, при $n=2$ значение нецелое, а при $n>3$ значение находится строго между $1$ и $8$ и целым быть не может.

Подходит $n=3$.

е)

Представим числитель:

\[n^3-6n^2+12n+3=(n-2)^3+11.\]

Тогда

\[\frac{n^3-6n^2+12n+3}{(n-2)^2}=n-2+\frac{11}{(n-2)^2},\quad n\ne2.\]

Для целого значения необходимо, чтобы $(n-2)^2$ делило $11$. Поэтому $n-2=1$ или $n-2=11$, откуда $n=3$ или $n=13$.

В обоих случаях значение дроби равно $12$.

Ответ: б) $n=5$; г) $n=3$; е) $n=3,\ 13$.

№ 2. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных \(n\) дробь принимает натуральные значения: б) \(\frac{2n^2-8n+5}{n}\); г) \(\frac{(2n-3)^3}{n^3}\); е) \(\frac{n^3-6n^2+12n+3}{(n-2)^2}\).

Ответ: