2. Выполните действия: (√6 - √2)² + √75.

Задание 2. Выполнение действий с корнями

Нам нужно вычислить значение выражения:

\[ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{75} \]

Шаг 1: Раскрываем квадрат разности.

Используем формулу \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

\[ (\sqrt{6})^2 - 2(\sqrt{6})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 + \sqrt{75} \]\[ 6 - 2\sqrt{6 \times 2} + 2 + \sqrt{75} \]\[ 6 - 2\sqrt{12} + 2 + \sqrt{75} \]\[ 8 - 2\sqrt{12} + \sqrt{75} \]

Шаг 2: Упрощаем корни.

Разложим числа под корнями на множители, чтобы выделить полные квадраты:

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Подставляем упрощенные корни обратно в выражение:

\[ 8 - 2(2\sqrt{3}) + 5\sqrt{3} \]\[ 8 - 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \]

Шаг 3: Приводим подобные слагаемые.

Складываем слагаемые с \( \sqrt{3} \):

\[ 8 + (-4\sqrt{3} + 5\sqrt{3}) \]\[ 8 + (1\sqrt{3}) \]\[ 8 + \sqrt{3} \]

Ответ: Значение выражения равно \( 8 + \sqrt{3} \).