5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 108 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 3 ч после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Задание 5. Задача на движение

Дано:

• Расстояние между пристанями А и В: \( S = 108 \) км.
• Первый теплоход отправился первым.
• Второй теплоход отправился на \( 3 \) часа позже первого.
• Скорость второго теплохода на \( 3 \) км/ч больше скорости первого.
• Оба теплохода прибыли в пункт В одновременно.

Найти: скорость второго теплохода.

Решение:

Шаг 1: Обозначим переменные.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого теплохода (в км/ч).

Тогда скорость второго теплохода \( v_2 = v_1 + 3 \) (в км/ч).

Пусть \( t_1 \) — время движения первого теплохода (в часах).

Пусть \( t_2 \) — время движения второго теплохода (в часах).

Шаг 2: Свяжем время движения.

Так как второй теплоход отправился на 3 часа позже и прибыл одновременно с первым, то время движения второго теплохода на 3 часа меньше времени движения первого:

\[ t_2 = t_1 - 3 \]

Шаг 3: Используем формулу расстояния.

Расстояние равно скорости, умноженной на время: \( S = v \cdot t \).

Для первого теплохода: \( 108 = v_1 \cdot t_1 \).

Для второго теплохода: \( 108 = v_2 \cdot t_2 \).

Подставим выражения для \( v_2 \) и \( t_2 \):

\[ 108 = (v_1 + 3)(t_1 - 3) \]

Шаг 4: Получаем систему уравнений.

У нас есть два уравнения:

1. \( 108 = v_1 \cdot t_1 \)
2. \( 108 = (v_1 + 3)(t_1 - 3) \)

Шаг 5: Решаем систему.

Из первого уравнения выразим \( t_1 = \frac{108}{v_1} \).

Подставим это во второе уравнение:

\[ 108 = (v_1 + 3)\left(\frac{108}{v_1} - 3\right) \]

Раскроем скобки:

\[ 108 = v_1 \cdot \frac{108}{v_1} - v_1 \cdot 3 + 3 \cdot \frac{108}{v_1} - 3 \cdot 3 \]\[ 108 = 108 - 3v_1 + \frac{324}{v_1} - 9 \]

Вычтем 108 из обеих частей:

\[ 0 = -3v_1 + \frac{324}{v_1} - 9 \]

Умножим всё на \( v_1 \) (при условии, что \( v_1 \neq 0 \)):

\[ 0 = -3v_1^2 + 324 - 9v_1 \]

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

\[ 3v_1^2 + 9v_1 - 324 = 0 \]

Разделим всё на 3:

\[ v_1^2 + 3v_1 - 108 = 0 \]

Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 3^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \).

Найдем корни \( v_1 \):

\[ v_{1,1} = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ v_{1,2} = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_1 = 9 \) км/ч.

Шаг 6: Находим скорость второго теплохода.

Нам нужно найти \( v_2 \), которая равна \( v_1 + 3 \):

\[ v_2 = 9 + 3 = 12 \] км/ч.

Проверка:

Скорость первого теплохода = 9 км/ч. Время первого теплохода = \( 108 / 9 = 12 \) часов.

Скорость второго теплохода = 12 км/ч. Время второго теплохода = \( 108 / 12 = 9 \) часов.

Разница во времени = \( 12 - 9 = 3 \) часа. Условие выполнено.

Ответ: Скорость второго теплохода равна 12 км/ч.