5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 108 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 3 ч после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Решение:

1. Пусть \( v \) км/ч — скорость первого теплохода.
2. Расстояние \( S = 108 \) км.
3. Время первого теплохода \( t_1 = \frac{S}{v} = \frac{108}{v} \) ч.
4. Скорость второго теплохода \( v_2 = v + 3 \) км/ч.
5. Время второго теплохода \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{108}{v+3} \) ч.
6. Второй теплоход вышел на 3 часа позже, но прибыл одновременно, значит, его время в пути на 3 часа меньше: \( t_1 - t_2 = 3 \).
7. Подставим выражения для времени: \( \frac{108}{v} - \frac{108}{v+3} = 3 \).
8. Разделим уравнение на 3: \( \frac{36}{v} - \frac{36}{v+3} = 1 \).
9. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{36(v+3) - 36v}{v(v+3)} = 1 \) → \( \frac{36v + 108 - 36v}{v^2 + 3v} = 1 \) → \( \frac{108}{v^2 + 3v} = 1 \).
10. Решим квадратное уравнение: \( v^2 + 3v = 108 \) → \( v^2 + 3v - 108 = 0 \).
11. Найдем дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \).
12. \( \sqrt{D} = 21 \).
13. Найдем \( v \): \( v_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) (км/ч). \( v_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \) (скорость не может быть отрицательной, отбрасываем).
14. Скорость первого теплохода — 9 км/ч.
15. Скорость второго теплохода: \( v + 3 = 9 + 3 = 12 \) км/ч.

Ответ: 12 км/ч.