2. Выучи определения и доказательства теорем о смежных и вертикальных углах.

Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Их сумма равна \(180^\circ\).

Теорема о смежных углах. Пусть углы \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) смежные. Лучи \(OA\) и \(OC\) противоположны, поэтому \(\angle AOB+\angle BOC=\angle AOC=180^\circ\). Следовательно, сумма смежных углов равна \(180^\circ\).

Вертикальные углы — углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Теорема о вертикальных углах. Пусть \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные. Угол \(\angle AOC\) и угол \(\angle AOD\) смежные, поэтому \(\angle AOC+\angle AOD=180^\circ\). Угол \(\angle BOD\) и угол \(\angle AOD\) также смежные, поэтому \(\angle BOD+\angle AOD=180^\circ\). Отсюда \(\angle AOC=\angle BOD\).