2) y = ln \(\frac{x}{e^x}\)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \ln \frac{x}{e^x} \) сначала упростим её, используя свойства логарифмов: \( \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b \).

\( y = \ln x - \ln e^x \)

Так как \( \ln e^x = x \), то:

\( y = \ln x - x \)

Теперь найдём производную:

\[ y' = (\ln x)' - (x)' \]

• \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
• \( (x)' = 1 \)

Следовательно:

\[ y' = \frac{1}{x} - 1 \]

Ответ: y' = \( \frac{1}{x} - 1 \).