g) y = arcsin \(\sqrt{x}\) \(\cdot\) \(\ln\) x

Решение:

Для нахождения производной произведения функций \( y = \arcsin \sqrt{x} \cdot \ln x \) используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Здесь \( u = \arcsin \sqrt{x} \) и \( v = \ln x \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (\arcsin \sqrt{x})' \). Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная \( \arcsin t \) равна \( \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \). Пусть \( t = \sqrt{x} = x^{1/2} \), тогда \( t' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• \( u' = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} \).
• \( v' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \).

Подставим в формулу производной произведения:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} \cdot \ln x + \arcsin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \]

\[ y' = \frac{\ln x}{2\sqrt{x(1-x)}} + \frac{\arcsin \sqrt{x}}{x} \]

Ответ: y' = \( \frac{\ln x}{2\sqrt{x(1-x)}} + \frac{\arcsin \sqrt{x}}{x} \).