k) y = ctg \(\frac{\ln x + 1}{2 - \ln x}\)

Решение:

Для нахождения производной сложной функции \( y = \ctg \frac{\ln x + 1}{2 - \ln x} \) используем правило дифференцирования сложной функции. Производная \( \cot t \) равна \( -\frac{1}{\sin^2 t} \).

Пусть \( t = \frac{\ln x + 1}{2 - \ln x} \). Найдём производную \( t' \) с помощью правила дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

• Пусть \( u = \ln x + 1 \), тогда \( u' = \frac{1}{x} \).
• Пусть \( v = 2 - \ln x \), тогда \( v' = -\frac{1}{x} \).

Найдём \( t' \):

\[ t' = \frac{\frac{1}{x}(2 - \ln x) - (\ln x + 1)(-\frac{1}{x})}{(2 - \ln x)^2} = \frac{\frac{2}{x} - \frac{\ln x}{x} + \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x}}{(2 - \ln x)^2} = \frac{\frac{3}{x}}{(2 - \ln x)^2} = \frac{3}{x(2 - \ln x)^2} \]

Теперь найдём производную \( y' \):

\[ y' = -\frac{1}{\sin^2 t} \cdot t' = -\frac{1}{\sin^2 \left(\frac{\ln x + 1}{2 - \ln x}\right)} \cdot \frac{3}{x(2 - \ln x)^2} \]

\[ y' = -\frac{3}{x(2 - \ln x)^2 \sin^2 \left(\frac{\ln x + 1}{2 - \ln x}\right)} \]

Ответ: y' = \( -\frac{3}{x(2 - \ln x)^2 \sin^2 \left(\frac{\ln x + 1}{2 - \ln x}\right)} \).