§ 20.18. Постройте график функции: а) y = ctg(x + π/2); б) y = ctg x + 1; в) y = ctg(x − π/3); г) y = ctg x − 2.

Используем периодичность котангенса: период каждой функции равен π. У вертикальных асимптот графики разрываются.

а) ctg(x + π/2) = −tg x. Нули: x = kπ; вертикальные асимптоты: x = π/2 + kπ.

б) Это график y = ctg x, сдвинутый вверх на 1. Асимптоты: x = kπ; нули: x = arctg(1) + kπ = π/4 + kπ.

в) График y = ctg x сдвинут вправо на π/3. Асимптоты: x = π/3 + kπ; нули: x = 5π/6 + kπ.

г) График y = ctg x сдвинут вниз на 2. Асимптоты: x = kπ; нули: x = arctg(1/2) + kπ.

Здесь k ∈ ℤ. Ниже приведены графики на промежутке от −2π до 2π; точки вблизи асимптот не соединяются.

Ответ: графики функций а)–г) построены.