20. Доказать тождества: а) A\(B∪C)=\(A\B\)∩\(A\C\)=\(A\B\)\(\C\)=\(A\C\)\\(B\C\); б) A\(B∩C)=\(A\B\)∪\(A\C\); в) A\\(A\B\)=A∩B; г) A\(\B\)=A\(A∩B); д) A∩\(B\C\)=(A∩B)\(A∩C)=(A∩B)\C; е) A∩\(B\A\)=∅; ж) (A∪B)\(\C\)=\(A\C\)∪\(B\C\); з) A\\(B\C\)=\(A\B\)∪(A∩C).

Используем определения: элемент принадлежит разности X\(\Y\) тогда и только тогда, когда он принадлежит X и не принадлежит Y; объединению — когда принадлежит хотя бы одному множеству; пересечению — когда принадлежит обоим.

1. а) Для элемента x: x∈A\(B∪C) ⇔ x∈A, x∉B и x∉C. Это равносильно x∈\(A\B\)∩\(A\C\) и x∈\(A\B\)\(\C\). Кроме того, x∈\(A\C\)\\(B\C\) означает x∈A, x∉C и (x∉B или x∈C), то есть x∈A, x∉B, x∉C. Все части равны.
2. б) x∈A\(B∩C) ⇔ x∈A и (x∉B или x∉C) ⇔ x∈\(A\B\)∪\(A\C\).
3. в) x∈A\\(A\B\) ⇔ x∈A и не выполнено «x∈A и x∉B». При x∈A это равносильно x∈B, поэтому получаем A∩B.
4. г) x∈A\(\B\) ⇔ x∈A и x∉B. Условие x∈A∩B означает x∈A и x∈B, поэтому A\(A∩B)=A\B.
5. д) x∈A∩\(B\C\) ⇔ x∈A, x∈B и x∉C. Это равносильно принадлежности обеим записанным разностям.
6. е) Элемент из A∩\(B\A\) одновременно должен принадлежать A и не принадлежать A. Таких элементов нет.
7. ж) x∈(A∪B)\(\C\) ⇔ (x∈A или x∈B) и x∉C ⇔ x∈\(A\C\)∪\(B\C\).
8. з) x∈A\\(B\C\) ⇔ x∈A и (x∉B или x∈C) ⇔ x∈\(A\B\)∪(A∩C).