Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 21. Доказать тождества: а) A·B=B·A; б) A−(B−C)=(A−B)−C; в) A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C); г) A−(A−B)=B; д) A\(\B\)=A−(A∩B).Фото задания

Ответ:

В данном списке равенства б) и г) неверны для произвольных множеств. Остальные верны.

  1. а) Пересечение коммутативно: x∈A∩B ⇔ x∈A и x∈B ⇔ x∈B и x∈A ⇔ x∈B∩A.
  2. б) Контрпример: A={1}, B=∅, C=∅. Левая часть равна {1}, правая — ∅. Вообще A\\(B\C\)=\(A\B\)∪(A∩C), поэтому указанное равенство не является тождеством.
  3. в) Обе части состоят из элементов x, для которых x∈A, x∈B и x∉C: при x∈A условие x∉A∩C равносильно x∉C.
  4. г) Контрпример: A=∅, B={1}. Левая часть ∅, правая {1}. Верное равенство: A\\(A\B\)=A∩B.
  5. д) x∈A\(A∩B) ⇔ x∈A и x∉A∩B ⇔ x∈A и x∉B ⇔ x∈A\(\B\).

Ответ: тождества а), в), д) верны; б), г) опровергаются приведёнными контрпримерами.