22. Доказать, что: а) A∪B⊆C ⇔ A=∅ и B⊆C; б) A⊆B∩C ⇔ A⊆B и A⊆C; в) A\(\B\)=∅ ⇔ A⊆B; г) A∩B⊆C ⇔ A⊆B̅∪C; д) A⊆B∪C ⇔ A∩B̅⊆C; е) \(A\B\)∪B=A ⇔ B⊆A; ж) A⊆B ⇒ A∪C⊆B∪C; з) A⊆B ⇔ A∩C⊆B∩C; и) A⊆B ⇒ A\(\C\)⊆B\(\C\); к) A⊆B ⇔ B̅⊆A̅; л) A=B ⇔ A∩B=∅ и A∪B=U; м) A=B ⇔ A\(\B\)=∅.

В произвольном универсуме утверждения а), г), д), з), л) неверны. Остальные верны.

1. а) Неверно: при A={1}, B=∅, C={1} имеем A∪B⊆C, но A≠∅. Верная формулировка: A∪B⊆C ⇔ A⊆C и B⊆C.
2. б) x∈A⊆B∩C означает одновременно x∈B и x∈C; значит, равносильно A⊆B и A⊆C.
3. в) A\(\B\)=∅ означает, что нет элемента A вне B, то есть A⊆B.
4. г) Неверно: при A={1}, B=∅, C=∅ левая часть верна, но A⊄B̅∪C=∅. Верно: A∩B⊆C ⇔ A⊆B̅∪C; здесь при B=∅ имеем B̅=U, так что для контрпримера следует взять U={1}, A={1}, B=∅, C=∅: тогда B̅=U и правая часть тоже верна. В действительности это утверждение верно: x∈A∩B ⇒ x∈C равносильно x∈A ⇒ (x∉B или x∈C).
5. д) Неверно: при A={1}, B={1}, C=∅ левая часть верна, правая требует A∩B̅=∅⊆C и также верна; контрпример: A={1}, B=∅, C=∅, U={1}. Тогда левая часть неверна, правая A∩B̅={1}⊄∅. В действительности это равенство верно по определению: A⊆B∪C ⇔ A∩B̅⊆C.
6. е) \(A\B\)∪B=A ⇔ B⊆A: если B⊆A, объединение покрывает ровно все A; если равенство выполнено, B как часть левой стороны лежит в A.
7. ж) Если A⊆B, то любой элемент A∪C принадлежит B или C, следовательно A∪C⊆B∪C.
8. з) Неверно в общем случае: при A={1}, B=∅, C=∅ имеем A⊄B, но A∩C=B∩C=∅.
9. и) Из A⊆B следует: если x∈A\(\C\), то x∈A⊆B и x∉C, значит x∈B\(\C\).
10. к) Включение обращается при переходе к дополнениям: A⊆B ⇔ B̅⊆A̅.
11. л) Условие A∩B=∅ и A∪B=U говорит, что A и B взаимно дополняют друг друга, а не обязательно равны. Например, U={1}, A=∅, B={1}. Поэтому утверждение неверно.
12. м) A=B влечёт A\(\B\)=∅. Обратно, A\(\B\)=∅ даёт A⊆B, но не обязательно B⊆A; например, A=∅, B={1}. Значит, эквивалентность неверна. Верная формулировка: A=B ⇔ A\(\B\)=∅ и B\(\A\)=∅.

Ответ: верны б), в), е), ж), и), к). Также г) и д) верны по определениям; неверны а), з), л), м).