20. Доказать тождества: а) \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=(A\setminus C)\setminus(B\setminus C)\); б) \(A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)\); в) \(A\setminus(A\setminus B)=A\cap B\); г) \(A\setminus B=A\setminus(A\cap B)\); д) \(A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus(A\cap C)\); е) \(A\cap(B\setminus A)=\varnothing\); ж) \((A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\); з) \(A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C)\).

Используем: \(x\in X\setminus Y\) означает \(x\in X\) и \(x\notin Y\).

1. а) Для любого \(x\): \(x\in A\setminus(B\cup C)\iff x\in A,\ x\notin B,\ x\notin C\). Это равносильно принадлежности \((A\setminus B)\cap(A\setminus C)\). Кроме того, \(x\in(A\setminus C)\setminus(B\setminus C)\iff x\in A,\ x\notin C,\) и неверно, что \(x\in B\setminus C\); при \(x\notin C\) это означает \(x\notin B\). Следовательно, все три множества равны.
2. б) \(x\in A\setminus(B\cap C)\iff x\in A\) и \((x\notin B\text{ или }x\notin C)\). Значит, \(x\in(A\setminus B)\cup(A\setminus C)\).
3. в) \(x\in A\setminus(A\setminus B)\iff x\in A\) и не выполняется одновременно \(x\in A,\ x\notin B\). При \(x\in A\) это равносильно \(x\in B\), то есть \(x\in A\cap B\).
4. г) \(x\in A\setminus(A\cap B)\iff x\in A\) и \(x\notin A\cap B\). Поскольку уже известно, что \(x\in A\), последнее равносильно \(x\notin B\). Получаем \(A\setminus B\).
5. д) \(x\in A\cap(B\setminus C)\iff x\in A,\ x\in B,\ x\notin C\). Это равносильно \(x\in(A\cap B)\setminus(A\cap C)\).
6. е) Элемент из \(B\setminus A\) не принадлежит \(A\). Поэтому \(A\cap(B\setminus A)=\varnothing\).
7. ж) \(x\in(A\cup B)\setminus C\iff (x\in A\text{ или }x\in B)\) и \(x\notin C\). Это равносильно \(x\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\).
8. з) \(x\in A\setminus(B\setminus C)\iff x\in A\) и неверно, что \(x\in B,\ x\notin C\). Значит, \(x\in A\) и \((x\notin B\text{ или }x\in C)\), то есть \(x\in(A\setminus B)\cup(A\cap C)\).