21. Доказать тождества: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б) $A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C$; в) $A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus(A\cap C)$; г) $A\setminus(A\setminus B)=B$; д) $A\setminus B=A\setminus(A\cap B)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21. Доказать тождества: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б) $A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C$; в)…$ Фото задания

21. Доказать тождества: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б) $A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C$; в) $A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus(A\cap C)$; г) $A\setminus(A\setminus B)=B$; д) $A\setminus B=A\setminus(A\cap B)$.

Accepted Answer

В пунктах а), б) и г) записанные равенства в общем случае неверны, поэтому доказать их как тождества нельзя.

а) Контрпример: пусть $A=\{1\}$, $B=\varnothing$. Тогда $A\setminus B=\{1\}$, а $B\setminus A=\varnothing$.
б) Контрпример: пусть $A=\{1\}$, $B=\{1\}$, $C=\{1\}$. Тогда $A\setminus(B\setminus C)=\{1\}$, а $(A\setminus B)\setminus C=\varnothing$.
в) Для любого $x$: $x\in A\cap(B\setminus C)\iff x\in A,\ x\in B,\ x\notin C$. Это равносильно $x\in(A\cap B)\setminus(A\cap C)$, поэтому равенство верно.
г) Контрпример: пусть $A=\{1\}$, $B=\{2\}$. Тогда $A\setminus(A\setminus B)=\{1\}$, тогда как $B=\{2\}$.
д) Если $x\in A$, то $x\notin A\cap B$ равносильно $x\notin B$. Поэтому $A\setminus(A\cap B)=A\setminus B$.

Возможно, в пунктах а), б) или г) в печатном условии есть ошибка: для установления предполагаемой формулировки нужен более чёткий фрагмент страницы.

21. Доказать тождества: а) \(A\setminus B=B\setminus A\); б) \(A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\); в) \(A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus(A\cap C)\); г) \(A\setminus(A\setminus B)=B\); д) \(A\setminus B=A\setminus(A\cap B)\).

Ответ: