22. Доказать, что: а) $A\cup B\subseteq C\iff A\subseteq C$ и $B\subseteq C$; б) $A\subseteq B\cap C\iff A\subseteq B$ и $A\subseteq C$; в) $A\setminus B=\varnothing\iff A\subseteq B$; г) $A\cap B\subseteq C\iff A\subseteq\overline{B}\cup C$; д) $A\subseteq B\cup C\iff A\setminus B\subseteq C$; е) $(A\setminus B)\cup B=A\iff B\subseteq A$; ж) $A\subseteq B\Rightarrow A\cup C\subseteq B\cup C$; з) $A\subseteq B\iff A\cap C\subseteq B\cap C$; и) $A\subseteq B\Rightarrow A\setminus C\subseteq B\setminus C$; к) $A\subseteq B\iff\overline{B}\subseteq\overline{A}$; л) $A=\overline{B}\iff A\cap B=\varnothing$ и $A\cup B=U$; м) $A=B\iff A\setminus B=\varnothing$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Доказать, что: а) $A\cup B\subseteq C\iff A\subseteq C$ и $B\subseteq C$; б) \(A\subseteq B\cap C\iff A\subseteq…$ Фото задания

22. Доказать, что: а) $A\cup B\subseteq C\iff A\subseteq C$ и $B\subseteq C$; б) $A\subseteq B\cap C\iff A\subseteq B$ и $A\subseteq C$; в) $A\setminus B=\varnothing\iff A\subseteq B$; г) $A\cap B\subseteq C\iff A\subseteq\overline{B}\cup C$; д) $A\subseteq B\cup C\iff A\setminus B\subseteq C$; е) $(A\setminus B)\cup B=A\iff B\subseteq A$; ж) $A\subseteq B\Rightarrow A\cup C\subseteq B\cup C$; з) $A\subseteq B\iff A\cap C\subseteq B\cap C$; и) $A\subseteq B\Rightarrow A\setminus C\subseteq B\setminus C$; к) $A\subseteq B\iff\overline{B}\subseteq\overline{A}$; л) $A=\overline{B}\iff A\cap B=\varnothing$ и $A\cup B=U$; м) $A=B\iff A\setminus B=\varnothing$.

Accepted Answer

В пунктах г), д), л) используем дополнение относительно универсального множества $U$.

а) $A\cup B\subseteq C$ означает, что каждый элемент как $A$, так и $B$ принадлежит $C$. Это равносильно $A\subseteq C$ и $B\subseteq C$.
б) Элемент принадлежит $A\subseteq B\cap C$ тогда и только тогда, когда каждый элемент $A$ принадлежит одновременно $B$ и $C$. Значит, это равносильно двум включениям.
в) $A\setminus B=\varnothing$ означает, что в $A$ нет элементов вне $B$; это и есть $A\subseteq B$.
г) Если $A\cap B\subseteq C$, то для каждого $x\in A$ либо $x\notin B$, либо $x\in C$. Это означает $A\subseteq\overline B\cup C$. Обратное следует тем же рассуждением.
д) $A\subseteq B\cup C$ означает, что каждый элемент $A$, не принадлежащий $B$, принадлежит $C$. Следовательно, $A\setminus B\subseteq C$, и наоборот.
е) $(A\setminus B)\cup B=A\cup B$. Поэтому равенство с $A$ выполняется ровно тогда, когда $B\subseteq A$.
ж) Если $A\subseteq B$, то любой элемент $A\cup C$ принадлежит либо $B$, либо $C$. Значит, $A\cup C\subseteq B\cup C$.
з) Утверждение в обе стороны неверно. Из $A\subseteq B$ действительно следует $A\cap C\subseteq B\cap C$, но обратное не следует. Например, при $A=\{1\}, B=\varnothing, C=\varnothing$ имеем $A\cap C=B\cap C=\varnothing$, однако $A\not\subseteq B$.
и) Если $x\in A\setminus C$, то из $A\subseteq B$ следует $x\in B$, а также $x\notin C$. Поэтому $x\in B\setminus C$.
к) Элемент не принадлежит $B$ тогда и только тогда, когда при $A\subseteq B$ он не принадлежит $A$. В общем виде включение сохраняется при переходе к дополнениям с обращением порядка: $A\subseteq B\iff\overline B\subseteq\overline A$.
л) Равенство $A=\overline B$ означает одновременно отсутствие общих элементов у $A,B$ и то, что их объединение равно $U$. И наоборот, эти два условия означают, что $A$ состоит ровно из элементов, не принадлежащих $B$.
м) В напечатанной формулировке это утверждение неверно: $A\setminus B=\varnothing$ выражает только $A\subseteq B$. Например, при $A=\varnothing, B=\{1\}$ разность пуста, но $A\ne B$. Для равенства множеств требуется $A\setminus B=\varnothing$ и $B\setminus A=\varnothing$.

Ответ: