20. Есть 14 монет по 2 рубля и 27 монет по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 161 рубль? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 162 рубля? в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 170 рублей включительно?

а) Да: \(13\cdot2+27\cdot5=26+135=161\) рубль. Использованы не более 14 двухрублёвых монет и ровно 27 пятирублёвых.

б) Нет. Чтобы сумма была чётной, число пятирублёвых монет должно быть чётным. При 26 монетах по 5 рублей остаётся \(162-26\cdot5=32\) рубля, для чего нужно 16 двухрублёвых монет — их есть только 14. При 24 монетах по 5 рублей потребовалось бы 21 двухрублёвая монета; при меньшем чётном количестве пятирублёвых монет требуемое число двухрублёвых монет ещё больше. Значит, собрать 162 рубля нельзя.

в) Всего имеющиеся монеты стоят \(14\cdot2+27\cdot5=163\) рубля. Чтобы набрать 170 рублей, нужно как минимум 7 дополнительных однорублёвых монет.

Семь таких монет достаточно. Ими можно набрать все суммы от 1 до 7 рублей. Добавляя монеты по 2 рубля, можно получить любую сумму до 35 рублей включительно: очередная монета стоит 2 рубля и не создаёт пропуска, поскольку уже доступный диапазон включает 0–7 рублей. Затем добавление монет по 5 рублей также сохраняет непрерывный диапазон сумм: к этому моменту доступны все суммы до 35 рублей, а 5 не больше 35 + 1. Всего получится диапазон от 0 до \(7+14\cdot2+27\cdot5=170\) рублей.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7 монет.