20. Пользуясь определением частного, докажите тождество: а) (m² + 3m − 4)/(m − 1) = m + 4; б) (a⁴ − 7a² + 1)/(a² + 3a + 1) = a² − 3a + 1; в) (a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴)/(a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = a + b; г) (a⁴ − 4a³ + 10a² − 12a + 9)/(a² − 2a + 3) = (a − 1)² + 2.

По определению частного равенство \(\frac{A}{B}=C\) верно, если \(B\ne0\) и \(A=BC\).

а) \(m^2+3m-4=(m-1)(m+4)\), поэтому при \(m\ne1\): \(\frac{m^2+3m-4}{m-1}=m+4\).

б) \((a^2+3a+1)(a^2-3a+1)=a^4-7a^2+1\). Следовательно, при \(a^2+3a+1\ne0\) равенство доказано.

в) \(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=(a+b)^4\), а \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\). Поэтому при \(a+b\ne0\): \(\frac{(a+b)^4}{(a+b)^3}=a+b\).

г) \((a^2-2a+3)((a-1)^2+2)=a^4-4a^3+10a^2-12a+9\). Так как \(a^2-2a+3=(a-1)^2+2>0\), знаменатель не равен нулю при любом действительном \(a\). Равенство доказано.