20. Решите неравенство \( \frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-3} \).

Решение:

1. Перенесём все члены неравенства в одну сторону: \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-3} \ge 0 \).
2. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{(x-3) - x}{x(x-3)} \ge 0 \] \[ \frac{-3}{x(x-3)} \ge 0 \].
3. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \[ \frac{3}{x(x-3)} \le 0 \].
4. Так как числитель (3) положителен, знаменатель должен быть отрицательным: \( x(x-3) < 0 \).
5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения \( x(x-3) = 0 \) равны 0 и 3. Парабола \( y = x(x-3) \) ветвями вверх. Неравенство \( x(x-3) < 0 \) выполняется при \( 0 < x < 3 \).

Ответ: \( (0; 3) \).