Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция с основаниями \( a = AD \) и \( b = BC \), \( a > b \). Боковые стороны \( c = AB = CD \).
  2. По условию, периметр \( P = 2c + a + b = 40 \).
  3. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a + b = 2c \).
  4. Подставим это в формулу периметра: \( 2c + 2c = 40 \), откуда \( 4c = 40 \) и \( c = 10 \).
  5. Следовательно, \( a + b = 2c = 20 \).
  6. Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 80 \), где \( h \) — высота трапеции.
  7. Подставим \( a+b=20 \): \( \frac{20}{2} \cdot h = 80 \), что даёт \( 10h = 80 \), откуда \( h = 8 \).
  8. Опустим высоту \( BH_1 \) из вершины \( B \) на основание \( AD \). Тогда \( AH_1 = \frac{a-b}{2} \).
  9. В прямоугольном треугольнике \( ABH_1 \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = BH_1^2 + AH_1^2 \)
  10. \( c^2 = h^2 + ​(\frac{a-b}{2})^2 \)
  11. \( 10^2 = 8^2 + ​(\frac{a-b}{2})^2 \)
  12. \( 100 = 64 + ​(\frac{a-b}{2})^2 \)
  13. \( \u200B(\frac{a-b}{2})^2 = 100 - 64 = 36 \)
  14. \( \frac{a-b}{2} = 6 \) (так как \( a > b \)).
  15. \( a - b = 12 \).
  16. Теперь у нас есть система уравнений: \( a + b = 20 \) и \( a - b = 12 \).
  17. Сложим уравнения: \( 2a = 32 \), \( a = 16 \).
  18. Вычтем из первого уравнения второе: \( 2b = 8 \), \( b = 4 \).
  19. Итак, основания трапеции равны \( AD = 16 \) и \( BC = 4 \).
  20. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \).
  21. Рассмотрим треугольники \( Δ BOC \) и \( Δ DOA \). Они подобны по двум углам (как вертикальные и как накрест лежащие при параллельных основаниях и секущих диагоналях).
  22. Отношение подобия равно отношению оснований: \( k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \).
  23. Пусть \( h_1 \) — высота \( Δ BOC \) (расстояние от \( O \) до \( BC \)), а \( h_2 \) — высота \( Δ DOA \) (расстояние от \( O \) до \( AD \)).
  24. \( h_1 + h_2 = h = 8 \).
  25. Так как \( k = \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4} \), то \( h_2 = 4h_1 \).
  26. Подставим в сумму: \( h_1 + 4h_1 = 8 \), \( 5h_1 = 8 \), \( h_1 = \frac{8}{5} = 1.6 \).
  27. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания \( BC \) равно \( h_1 \).

Ответ: 1.6.