20. Решите неравенство $$\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$$.

Решение:

Чтобы дробь была больше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак, либо числитель равен нулю. Так как числитель \( -10 \) отрицателен, то знаменатель должен быть отрицательным и не равным нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: \( -10 = 0 \). Это невозможно, значит, \( \frac{-10}{(x-3)^2-5} \neq 0 \) ни при каких значениях \( x \).
2. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти значения, при которых он не определен: \( (x-3)^2 - 5 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( (x-3)^2 = 5 \)
4. \( x-3 = \pm \sqrt{5} \)
5. \( x = 3 \pm \sqrt{5} \).
6. Значит, \( x \neq 3 + \sqrt{5} \) и \( x \neq 3 - \sqrt{5} \).
7. Теперь найдём, когда знаменатель отрицателен: \( (x-3)^2 - 5 < 0 \).
8. \( (x-3)^2 < 5 \)
9. \( -\sqrt{5} < x-3 < \sqrt{5} \)
10. \( 3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5} \).

Ответ: \( x \in \left( 3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5} \right) \).