20. Решите неравенство (х²-3x-18)(x²-13x+42)≥0.

Для решения этого неравенства нам нужно найти корни каждого квадратного трехчлена и затем использовать метод интервалов.

1. Найдем корни первого трехчлена:

\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{3 \pm 9}{2} \]

\[ x_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Таким образом, первый трехчлен можно разложить как (x - 6)(x + 3).

2. Найдем корни второго трехчлена:

\[ x^2 - 13x + 42 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(1)(42) = 169 - 168 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{13 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{13 - 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, второй трехчлен можно разложить как (x - 7)(x - 6).

3. Соберем все вместе и решим неравенство:

\[ (x - 6)(x + 3)(x - 7)(x - 6) \ge 0 \]

\[ (x + 3)(x - 7)(x - 6)^2 \ge 0 \]

Теперь нанесем корни на числовую прямую: -3, 6, 7. Обрати внимание, что корень 6 имеет кратность 2, поэтому он не меняет знак при переходе через него.

Рассмотрим знаки интервалов:

• При x > 7: (+)(+)(+) = + (больше 0)
• При 6 < x < 7: (+)(+)(+) = + (больше 0)
• При -3 < x < 6: (+)(-)(+) = - (меньше 0)
• При x < -3: (-)(-)(+) = + (больше 0)

Нас интересуют значения, где выражение больше или равно 0. Также учтем, что при x = 6 выражение равно 0.

Получаем следующие интервалы: x ≤ -3, x = 6, x ≥ 7.

Ответ:

\[ x \in (-\infty; -3] \cup \{6\} \cup [7; \infty) \]