19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным. 2) Из двух смежных углов всегда один острый, а другой тупой. 3) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Решение:

1. Утверждение 1: Равносторонний треугольник имеет все стороны равными. Равнобедренный треугольник имеет как минимум две стороны равными. Следовательно, всякий равносторонний треугольник является равнобедренным. (Верно)
2. Утверждение 2: Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\). Они могут быть равны \(90^\circ\) (прямые углы), или один может быть острым, а другой тупым. Например, \(30^\circ\) и \(150^\circ\). Однако, оба угла могут быть и острыми (например, если сумма смежных углов больше \(180^\circ\), что невозможно по определению смежных углов), или оба тупыми (что также невозможно). В случае, если два смежных угла равны \(90^\circ\), они оба являются прямыми, а не острым и тупым. Следовательно, утверждение не всегда верно. (Неверно)
3. Утверждение 3: Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом. Квадрат — это частный случай прямоугольника. Значит, такой прямоугольник существует. (Верно)

Ответ: 1, 3