20 Решите неравенство (х-7)² < √11(x-7).

Решение:

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

\( (x-7)^2 - \sqrt{11}(x-7) < 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x-7) \) за скобки:

\( (x-7) ( (x-7) - \sqrt{11} ) < 0 \)

\( (x-7) (x - 7 - \sqrt{11}) < 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x-7) (x - 7 - \sqrt{11}) = 0 \):

\( x-7 = 0 \implies x_1 = 7 \)

\( x - 7 - \sqrt{11} = 0 \implies x_2 = 7 + \sqrt{11} \)

Получаем интервалы: \( (-\infty; 7) \), \( (7; 7 + \sqrt{11}) \), \( (7 + \sqrt{11}; +\infty) \).

Проверим знаки выражения \( (x-7) (x - 7 - \sqrt{11}) \) на каждом интервале:

• Для \( x < 7 \) (например, \( x=0 \)): \( (-7)(-7-\sqrt{11}) = 49 + 7\sqrt{11} > 0 \).
• Для \( 7 < x < 7 + \sqrt{11} \) (например, \( x = 7.1 \)): \( (0.1) (0.1 - \sqrt{11}) < 0 \) (так как \( \sqrt{11} \approx 3.3 \), \( 0.1 - 3.3 < 0 \)).
• Для \( x > 7 + \sqrt{11} \) (например, \( x=11 \)): \( (4)(4-\sqrt{11}) > 0 \) (так как \( 4 > \sqrt{11} \)).

Неравенство \( < 0 \) выполняется на интервале \( (7; 7 + \sqrt{11}) \).

Ответ: \( (7; 7 + \sqrt{11}) \)