20. Решите неравенство x ≤ 2/x.

Решение:

Перенесём всё в одну часть уравнения:

\( x - \frac{2}{x} \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x^2 - 2}{x} \le 0 \)

Рассмотрим знаки числителя \( x^2 - 2 \) и знаменателя \( x \).

• Числитель \( x^2 - 2 = 0 \) при \( x = \pm \sqrt{2} \).
• Знаменатель \( x = 0 \).

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражений:

\( x^2 - 2 \): \( + \) на \( (-\infty; -\sqrt{2}) \), \( - \) на \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \), \( + \) на \( (\sqrt{2}; \infty) \).

\( x \): \( - \) на \( (-\infty; 0) \), \( + \) на \( (0; \infty) \).

Теперь найдём знак дроби \( \frac{x^2 - 2}{x} \):

• При \( x < -\sqrt{2} \): \( \frac{+}{-} = - \)
• При \( -\sqrt{2} < x < 0 \): \( \frac{-}{-} = + \)
• При \( 0 < x < \sqrt{2} \): \( \frac{-}{+} = - \)
• При \( x > \sqrt{2} \): \( \frac{+}{+} = + \)

Нам нужно, чтобы дробь была неположительной, то есть \( \le 0 \). Поэтому подходит интервал \( (-\infty; -\sqrt{2}] \) (включая \( -\sqrt{2} \), так как числитель равен нулю) и интервал \( (0; \sqrt{2}] \) (не включая \( 0 \), так как знаменатель не может быть равен нулю).

Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup (0; \sqrt{2}] \).