22. Постройте график функции y = |x² - 4|x|+3| и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - 4|x| + 3 \). Это чётная функция, так как \( f(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = f(x) \). Значит, график симметричен относительно оси \( Oy \).

Построим график для \( x \ge 0 \), где \( |x| = x \). Функция примет вид \( y = x^2 - 4x + 3 \).

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдём вершину:

\( x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)

\( y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \). Вершина в точке \( (2, -1) \).

Найдём корни уравнения \( x^2 - 4x + 3 = 0 \): \( (x-1)(x-3) = 0 \), корни \( x=1 \) и \( x=3 \).

При \( x=0 \), \( y = 3 \).

Теперь рассмотрим \( y = |x^2 - 4|x| + 3| \).

Для \( x \ge 0 \):

• Если \( x^2 - 4x + 3 \ge 0 \) (т.е. \( x \in [0, 1] \cup [3, \infty) \)), то \( y = x^2 - 4x + 3 \).
• Если \( x^2 - 4x + 3 < 0 \) (т.е. \( x \in (1, 3) \)), то \( y = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3 \). Этот участок графика симметрично отражается вверх относительно оси \( Ox \). Вершина \( (2, -1) \) станет \( (2, 1) \).

Учитывая симметрию, строим полный график.

График имеет следующие характерные точки:

• \( (0, 3) \)
• \( (1, 0) \)
• \( (2, 1) \) (бывшая вершина)
• \( (3, 0) \)
• \( (4, 3) \)
• \( (-1, 0) \)
• \( (-2, 1) \)
• \( (-3, 0) \)
• \( (-4, 3) \)

Прямая \( y=m \) будет иметь ровно три общие точки с графиком, когда она проходит через точки пересечения симметричных частей графика с осью \( Ox \) или через