20. Решите неравенство x²-7x+12 / x-3 ≤ 0.

Привет! Давай разберем это неравенство по шагам.

1. Приведем к общему знаменателю (хотя здесь он уже есть, это важно для понимания):

У нас есть дробь orward{\(\frac{x^2 - 7x + 12}{x - 3}\)} и условие orward{\(\leq\) 0} .

2. Найдем корни числителя:

Чтобы найти корни числителя, решим уравнение orward{x^2 - 7x + 12 = 0} .

Это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

Значит, числитель равен нулю при orward{x = 4} и orward{x = 3} .

3. Найдем корень знаменателя:

Знаменатель равен нулю, когда orward{x - 3 = 0} , то есть при orward{x = 3} .

Важно! Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому orward{x \(\neq\) 3} .

4. Определим знаки на интервалах:

У нас есть три критические точки: 3 (корень знаменателя) и 3, 4 (корни числителя). Однако, так как orward{x \(\neq\) 3} , мы рассматриваем точки orward{x = 3} (выколотая) и orward{x = 4} (включаем, так как неравенство orward{\(\leq\) 0} ).

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: orward{\(-\infty; 3\)} , orward{(3; 4]} , orward{[4; \(\infty\))} .

Давай проверим знак дроби на каждом интервале:

• Интервал orward{\(-\infty; 3\)} : Возьмем, например, orward{x = 0} .

orward{\(\frac{0^2 - 7\times0 + 12}{0 - 3}\) = \(\frac{12}{-3}\) = -4} . Знак минус.

• Интервал orward{(3; 4]} : Возьмем, например, orward{x = 3.5} .

orward{\(\frac{(3.5)^2 - 7\times3.5 + 12}{3.5 - 3}\) = \(\frac{12.25 - 24.5 + 12}{0.5}\) = \(\frac{-0.25}{0.5}\) = -0.5} . Знак минус.

• Интервал orward{\(4; \infty\)} : Возьмем, например, orward{x = 5} .

orward{\(\frac{5^2 - 7\times5 + 12}{5 - 3}\) = \(\frac{25 - 35 + 12}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1} . Знак плюс.

5. Выберем нужные интервалы:

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю (orward{\(\leq\) 0} ). Это интервалы orward{\(-\infty; 3\)} и orward{(3; 4]} .

6. Запишем ответ:

Ответ можно записать как orward{\(-\infty; 3\) \(\cup\) (3; 4]} .

Ответ: orward{\(-\infty; 3\) \(\cup\) (3; 4]}