Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Привет! Давай решим эту непростую задачку.
1. Что нам дано?
\(\triangle\) ABC .
Точки orward{M} и orward{N} на стороне orward{AC} .
orward{AM = 12} .
orward{AN = 45} .
Окружность проходит через orward{M} и orward{N} .
Окружность касается луча orward{AB} .
orward{\(\cos\)\(\angle BAC\) = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)} .
2. Что нужно найти?
Радиус окружности orward{R} .
3. Найдем orward{\(\sin\)\(\angle BAC\)} :
Используем основное тригонометрическое тождество: orward{\(\sin\)^2\(\alpha\) + \(\cos\)^2\(\alpha\) = 1} .
orward{\(\sin\)^2\(\angle BAC\) = 1 - \(\cos\)^2\(\angle BAC\)}
orward{\(\sin\)^2\(\angle BAC\) = 1 - \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)^2 = 1 - \(\frac{15}{16}\) = \(\frac{1}{16}\)}
orward{\(\sin\)\(\angle BAC\) = \(\sqrt{\frac{1}{16}}\) = \(\frac{1}{4}\)} (так как угол в треугольнике острый, синус положительный).
4. Используем свойство касательной и секущей:
Пусть orward{O} — центр окружности, orward{R} — её радиус.
Пусть orward{K} — точка касания на orward{AB} . Тогда orward{OK perp AB} и orward{OK = R} .
Проведем радиус orward{OK} к точке касания orward{K} на orward{AB} . orward{OK perp AB} .
Рассмотрим orward{\(\triangle\) OKA} . Это прямоугольный треугольник. Угол orward{A} у нас известен (orward{\(\cos\)\(\angle BAC\) = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)} , orward{\(\sin\)\(\angle BAC\) = \(\frac{1}{4}\)} ).
В orward{\(\triangle\) OKA} :
orward{OK = AK \(\tan\)\(\angle BAC\)}
orward{R = AK \(\times\) \(\frac\){\(\sin\)\(\angle BAC\)}{\(\cos\)\(\angle BAC\)} = AK \(\times\) \(\frac{1/4}{\sqrt{15}/4}\) = AK \(\times\) \(\frac{1}{\sqrt{15}}\)}
orward{AK = R \(\sqrt{15}\)} .
5. Используем свойство хорд:
Пусть orward{P} — середина хорды orward{MN} . Тогда orward{OP perp MN} .
orward{MN = AN - AM = 45 - 12 = 33} .
Тогда orward{MP = PN = \(\frac{33}{2}\)} .
Рассмотрим orward{\(\triangle\) OPM} . Это прямоугольный треугольник.
orward{OM^2 = OP^2 + PM^2}
orward{R^2 = OP^2 + \(\frac{33}{2}\)^2}
orward{OP^2 = R^2 - \(\frac{33}{2}\)^2}
6. Свяжем точки A, O, P
Точки orward{A} , orward{P} (середина orward{MN} ), orward{O} (центр окружности) лежат на одной прямой, перпендикулярной orward{AC} (так как orward{OP perp AC} , а orward{AP} лежит на orward{AC} ). Это не всегда верно. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде.
Центр orward{O} лежит на серединном перпендикуляре к orward{MN} . Этот перпендикуляр параллелен orward{AB} или orward{BC} .
Рассмотрим orward{\(\triangle\) AOK} .
orward{AK = AO \(\cos\)\(\angle BAC\)}
orward{R = AO \(\times\) \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)}
orward{AO = \(\frac{4R}{\sqrt{15}}\)}
Теперь рассмотрим orward{\(\triangle\) APO} .
orward{AO^2 = AP^2 + OP^2}
Мы знаем orward{AP = AN - PN = 45 - \(\frac{33}{2}\) = \(\frac{90 - 33}{2}\) = \(\frac{57}{2}\)} .
Или orward{AP = AM + MP = 12 + \(\frac{33}{2}\) = \(\frac{24 + 33}{2}\) = \(\frac{57}{2}\)} .
Также orward{OP^2 = R^2 - PM^2 = R^2 - \(\frac{33}{2}\)^2} .
Подставим всё в orward{AO^2 = AP^2 + OP^2} :
\(orward{\frac{4R}{\sqrt{15}}}\)^2 = \(\frac{57}{2}\)^2 + R^2 - \(\frac{33}{2}\)^2
orward{\(\frac{16R^2}{15}\)} = \(\frac{3249}{4}\) + R^2 - \(\frac{1089}{4}\)
orward{\(\frac{16R^2}{15}\)} = \(\frac{3249 - 1089}{4}\) + R^2
orward{\(\frac{16R^2}{15}\)} = \(\frac{2160}{4}\) + R^2
orward{\(\frac{16R^2}{15}\)} = 540 + R^2
Перенесем orward{R^2} в левую часть:
orward{\(\frac{16R^2}{15}\)} - R^2 = 540
orward{\(\frac{16R^2 - 15R^2}{15}\)} = 540
orward{\(\frac{R^2}{15}\)} = 540
orward{R^2 = 540 \(\times\) 15}
orward{R^2 = 8100}
orward{R = \(\sqrt{8100}\) = 90} .
Ответ: Радиус окружности равен 90.
