20. Решите систему {(2x+4)² = 3y, (4x+2)² = 3y

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подстановки, так как обе части равны \(3y\).

Приравняем выражения для \(3y\):

\[ (2x+4)^2 = (4x+2)^2 \]

Перенесем всё в одну сторону:

\[ (2x+4)^2 - (4x+2)^2 = 0 \]

Это разность квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), где \(a = 2x+4\) и \(b = 4x+2\).

\[ ((2x+4) - (4x+2))((2x+4) + (4x+2)) = 0 \]

Упростим выражения в скобках:

\[ (2x+4-4x-2)(2x+4+4x+2) = 0 \]

\[ (-2x+2)(6x+6) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разберем два случая:

Случай 1:

\[ -2x+2 = 0 \]

\[ -2x = -2 \]

\[ x = 1 \]

Теперь найдем \(y\), подставив \(x=1\) в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:

\[ (2(1)+4)^2 = 3y \]

\[ (2+4)^2 = 3y \]

\[ 6^2 = 3y \]

\[ 36 = 3y \]

\[ y = 12 \]

Получили первое решение: \( (1, 12) \).

Случай 2:

\[ 6x+6 = 0 \]

\[ 6x = -6 \]

\[ x = -1 \]

Найдем \(y\), подставив \(x=-1\) в первое уравнение:

\[ (2(-1)+4)^2 = 3y \]

\[ (-2+4)^2 = 3y \]

\[ 2^2 = 3y \]

\[ 4 = 3y \]

\[ y = \frac{4}{3} \]

Получили второе решение: \( (-1, \frac{4}{3}) \).

Ответ: Система имеет два решения: \( (1, 12) \) и \( (-1, \frac{4}{3}) \).