20. Решите систему неравенств

Решение:

Для решения системы неравенств:

• \[ x^2 - 6x + 5 \le 0 \]
• \[ x^2 - 8x + 15 \ge 0 \]

1. Решим первое неравенство:

• Находим корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \).
• По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \), \( x_1 \cdot x_2 = 5 \).
• Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 5 \).
• Парабола \( y = x^2 - 6x + 5 \) ветвями вверх, значит, неравенство \( x^2 - 6x + 5 \le 0 \) выполняется при \( 1 \le x \le 5 \).

2. Решим второе неравенство:

• Находим корни уравнения \( x^2 - 8x + 15 = 0 \).
• По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \), \( x_1 \cdot x_2 = 15 \).
• Корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \).
• Парабола \( y = x^2 - 8x + 15 \) ветвями вверх, значит, неравенство \( x^2 - 8x + 15 \ge 0 \) выполняется при \( x \le 3 \) или \( x \ge 5 \).

3. Найдем пересечение решений:

• Первое неравенство: \( [1; 5] \)
• Второе неравенство: \( (-\infty; 3] \cup [5; +\infty) \)
• Общее решение: \( [1; 3] \cup \{5\} \)

Ответ:
[1; 3] $$\cup$$ {5}