22. Постройте график функции y = f(x), где f(x) = {(1-x)(x+3), если x≤1; (x-1)(x+3), если x>1. При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки?

Решение:

1. Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• При \( x \le 1 \): \( f(x) = (1-x)(x+3) = -x^2 - 3x + x + 3 = -x^2 - 2x + 3 \)
• При \( x > 1 \): \( f(x) = (x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3 \)

Для \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \) (при \( x \le 1 \)):

• Это парабола ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{-2}{2\cdot(-1)} = -1 \).
• Значение функции в вершине: \( f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \). Вершина: \((-1; 4)\).
• Найдем значение функции на границе интервала \( x=1 \): \( f(1) = -(1)^2 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \). Точка \((1; 0)\).

Для \( f(x) = x^2 + 2x - 3 \) (при \( x > 1 \)):

• Это парабола ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{2}{2\cdot(1)} = -1 \). Однако, этот интервал для \( x > 1 \), поэтому вершина \((-1; -4)\) не входит в данную область.
• Найдем значение функции на границе интервала \( x=1 \): \( f(1) = (1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \). Точка \((1; 0)\).
• Для \( x > 1 \), значения функции будут больше 0. Например, \( f(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \).

График:

График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке \((1; 0)\).

2. Найдем значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) имеет с графиком две общие точки:

• Прямая \( y=m \) — это горизонтальная прямая.
• Чтобы она пересекала график в двух точках, она должна находиться между вершиной первой параболы (значение \( y=4 \)) и точкой \((1; 0)\) на оси \(x\).
• При \( m = 4 \), прямая касается вершины первой параболы (одна точка).
• При \( m = 0 \), прямая проходит через точку \((1; 0)\). Эта точка является общей для обеих частей графика. Вторая часть графика (вторая парабола) при \(x > 1 \) начинается от \(y=0\) и идет вверх, поэтому \( y=0 \) будет только одна точка пересечения.
• Таким образом, для двух точек пересечения \( m \) должно быть больше 0 (но не включая 0, так как это только одна точка) и меньше 4 (но не включая 4, так как это одна точка).

Ответ:
0 < m < 4