20. Решите систему уравнений ((x-5)(y-7)=0, y-3 x+y-8=2.

Решение:

Система уравнений:

\( \begin{cases} (x-5)(y-7) = 0 \\ \frac{y-3}{x+y-8} = 2 array{'} array{')

Из первого уравнения следует, что либо \( x-5=0 \), либо \( y-7=0 \).

Случай 1: \( x-5=0 \) \(\Rightarrow\) \( x=5 \).

Подставим \( x=5 \) во второе уравнение:

\( \frac{y-3}{5+y-8} = 2 \)

\( \frac{y-3}{y-3} = 2 \)

Это уравнение верно при любом \( y \), кроме \( y=3 \) (чтобы знаменатель не был равен нулю).

Если \( y=3 \), то знаменатель \( 5+3-8 = 0 \), что недопустимо.

Значит, \( y \neq 3 \). В этом случае \( \frac{y-3}{y-3} = 1 \).

Получаем \( 1 = 2 \), что является ложным утверждением. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: \( y-7=0 \) \(\Rightarrow\) \( y=7 \).

Подставим \( y=7 \) во второе уравнение:

\( \frac{7-3}{x+7-8} = 2 \)

\( \frac{4}{x-1} = 2 \)

При условии, что \( x-1 \neq 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \neq 1 \).

Домножим обе части уравнения на \( x-1 \):

\( 4 = 2(x-1) \)

\( 4 = 2x - 2 \)

\( 2x = 6 \)

\( x = 3 \).

Полученное значение \( x=3 \) не равно 1, значит, знаменатель не равен нулю.

Таким образом, решением системы является \( x=3, y=7 \).

Проверка:

Подставим \( x=3, y=7 \) в исходную систему:

1) \( (3-5)(7-7) = (-2)(0) = 0 \) (верно)

2) \( \frac{7-3}{3+7-8} = \frac{4}{2} = 2 \) (верно)

Ответ: (3; 7)