20 Решите систему уравнений x² + y² = 40, xy = -12.

Решение:

Данная система уравнений:

• \( x^2 + y^2 = 40 \)
• \( xy = -12 \)

Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = -\frac{12}{x} \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 40 \]\[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 40 \]\[ x^4 + 144 = 40x^2 \]\[ x^4 - 40x^2 + 144 = 0 \]

Сделаем замену переменной \( t = x^2 \), где \( t > 0 \):

\[ t^2 - 40t + 144 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

\[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \]

Найдём \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36 \]\[ t_2 = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Так как \( t = x^2 \), то:

• \( x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6 \)
• \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \), используя \( y = -\frac{12}{x} \):

• Если \( x = 6 \), то \( y = -\frac{12}{6} = -2 \).
• Если \( x = -6 \), то \( y = -\frac{12}{-6} = 2 \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = -\frac{12}{2} = -6 \).
• Если \( x = -2 \), то \( y = -\frac{12}{-2} = 6 \).

Таким образом, решениями системы являются пары:

\( (6; -2), (-6; 2), (2; -6), (-2; 6) \).

Ответ: (6; -2), (-6; 2), (2; -6), (-2; 6).