21 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 160 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 26 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч), \( u \) — скорость течения реки (км/ч). Известно, что \( u = 2 \) км/ч.

Расстояние до пункта назначения \( S = 160 \) км.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{S}{v + u} \).

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{S}{v - u} \).

Время стоянки \( t_{стоянки} = 8 \) часов.

Общее время в пути \( T = t_1 + t_2 + t_{стоянки} = 26 \) часов.

Подставим известные значения:

\[ \frac{160}{v + 2} + \frac{160}{v - 2} + 8 = 26 \]

Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

\[ \frac{160}{v + 2} + \frac{160}{v - 2} = 18 \]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 9 \] \[ \frac{80v - 160 + 80v + 160}{v^2 - 4} = 9 \] \[ \frac{160v}{v^2 - 4} = 9 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 160v = 9(v^2 - 4) \] \[ 160v = 9v^2 - 36 \] \[ 9v^2 - 160v - 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v \):

\[ D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \]

Найдём \( v_1 \) и \( v_2 \):

\[ v_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18 \] \[ v_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} \]

Так как скорость теплохода не может быть отрицательной, \( v = 18 \) км/ч.

Ответ: 18 км/ч.