22. Постройте график функции y = x² + 4|x| - 5. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим функцию \( y = x^2 + 4|x| - 5 \). Так как \( x^2 = |x|^2 \), функцию можно переписать как \( y = |x|^2 + 4|x| - 5 \).
2. Поскольку \( |x| \) всегда неотрицательно, нам достаточно построить график для \( x \ge 0 \), а затем отразить его относительно оси \( y \) (так как функция четная: \( y(-x) = (-x)^2 + 4|-x| - 5 = x^2 + 4|x| - 5 = y(x) \)).
3. Для \( x \ge 0 \), \( |x| = x \), поэтому функция принимает вид \( y = x^2 + 4x - 5 \).
4. Это парабола. Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \). Однако, мы рассматриваем случай \( x \ge 0 \), поэтому вершина параболы \( y = x^2 + 4x - 5 \) в данном случае не будет достигнута.
5. Найдем точку пересечения с осью \( y \) (при \( x=0 \)): \( y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 \). Точка (0, -5).
6. Найдем точки пересечения с осью \( x \) (при \( y=0 \)): \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \( D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).
   \( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \).
   \( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \).
   Так как мы рассматриваем \( x \ge 0 \), нас интересует точка \( x = 1 \). Точка (1, 0).
7. Итак, для \( x \ge 0 \) график начинается из точки (0, -5), проходит через (1, 0) и далее возрастает.
8. Теперь построим график для \( x < 0 \), отразив построенную часть относительно оси \( y \). Получим, что график также проходит через точки (-1, 0) и (-5, -5).
9. Вершина графика функции \( y = x^2 + 4|x| - 5 \) находится в точке \( (0, -5) \).
10. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \). Чтобы найти наибольшее число общих точек, нужно определить, сколько раз прямая \( y = k \) может пересекать график функции.
11. Исследуем график:
    - Если \( k < -5 \), прямая \( y = k \) не пересекает график (0 точек).
    - Если \( k = -5 \), прямая \( y = -5 \) касается графика в вершине (1 точка).
    - Если \( -5 < k < 0 \), прямая \( y = k \) пересекает график в двух точках (2 точки).
    - Если \( k = 0 \), прямая \( y = 0 \) пересекает график в двух точках (2 точки, x = 1 и x = -1).
    - Если \( k > 0 \), прямая \( y = k \) пересекает график в двух точках (2 точки).
12. Наибольшее число общих точек достигается, когда \( k > -5 \), и равно 2.

Ответ: 2