20. Решите систему уравнений x² + y² = 50, xy=7.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выразим y из второго уравнения: \( y = \frac{7}{x} \).
2. Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^{2} + (\frac{7}{x})^{2} = 50 \).
3. Шаг 3: Упростим уравнение: \( x^{2} + \frac{49}{x^{2}} = 50 \).
4. Шаг 4: Умножим обе части на \( x^{2} \) (при условии \( x \neq 0 \)): \( x^{4} + 49 = 50x^{2} \).
5. Шаг 5: Перенесем все в одну сторону и сделаем замену \( t = x^{2} \): \( t^{2} - 50t + 49 = 0 \).
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант \( D = (-50)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 - 196 = 2304 \). \( \sqrt{D} = 48 \). \( t_{1} = \frac{50 + 48}{2} = \frac{98}{2} = 49 \). \( t_{2} = \frac{50 - 48}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
7. Шаг 7: Найдем x, используя \( t = x^{2} \): \( x^{2} = 49 \) \(\implies\) \( x = \pm 7 \). \( x^{2} = 1 \) \(\implies\) \( x = \pm 1 \).
8. Шаг 8: Найдем y, используя \( y = \frac{7}{x} \):
   • Если \( x=7 \), то \( y = \frac{7}{7} = 1 \).
   • Если \( x=-7 \), то \( y = \frac{7}{-7} = -1 \).
   • Если \( x=1 \), то \( y = \frac{7}{1} = 7 \).
   • Если \( x=-1 \), то \( y = \frac{7}{-1} = -7 \).

Ответ: Решениями системы являются пары \( (7; 1), (-7; -1), (1; 7), (-1; -7) \).