20. Решите уравнение (1-x)(x² +5x-6)≥0.

Решение:

Для решения неравенства (1-x)(x² +5x-6)≥0, сначала разложим квадратный трехчлен x² +5x-6 на множители.

Найдем корни уравнения x² +5x-6 = 0:

По теореме Виета: x₁ + x₂ = -5, x₁ * x₂ = -6.

Подбираем корни: x₁ = 1, x₂ = -6.

Таким образом, x² +5x-6 = (x - 1)(x + 6).

Теперь перепишем исходное неравенство:

\[(1-x)(x-1)(x+6) \geq 0\]

Заметим, что (1-x) = -(x-1). Подставим это:

\[-(x-1)(x-1)(x+6) \geq 0\]

\[-(x-1)²(x+6) \geq 0\]

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

\[(x-1)²(x+6) \leq 0\]

Рассмотрим знаки множителей:

• (x-1)² всегда неотрицательно (больше или равно 0) для любого действительного x.
• (x+6) может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Чтобы произведение (x-1)²(x+6) было неположительным (меньше или равно 0), необходимо:

• Либо (x-1)² = 0, что означает x = 1. В этом случае неравенство выполняется: 0 * (1+6) = 0 ≤ 0.
• Либо (x+6) ≤ 0, при условии, что (x-1)² > 0 (т.е. x ≠ 1).

Решим x+6 ≤ 0:

\[x \leq -6\]

Объединяя условия, получаем, что неравенство выполняется при x ≤ -6 и при x = 1.

Ответ: $$x \in (-\infty; -6] \cup \{1\}$$