20 Решите уравнение 2х2-3x + √2-x = √2-x+14.

Решение:

Данное уравнение: \( 2x^2 - 3x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 14 \).

Вычтем \( \sqrt{2-x} \) из обеих частей уравнения:

\( 2x^2 - 3x = 14 \)

Перенесём 14 в левую часть:

\( 2x^2 - 3x - 14 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдём корни по формуле:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 11}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Проверим условие существования корня \( \sqrt{2-x} \), то есть \( 2-x \ge 0 \), что означает \( x \le 2 \).

Корень \( x_1 = 3.5 \) не удовлетворяет условию \( x \le 2 \).

Корень \( x_2 = -2 \) удовлетворяет условию \( x \le 2 \).

Ответ: x = -2.