Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для построения графика функции \( y = x^2 + 2.5x - 2.5|x+2| + 1 \) раскроем модуль \( |x+2| \).
Случай 1: \( x + 2 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \).
В этом случае \( |x+2| = x+2 \).
Функция примет вид:
\[ y = x^2 + 2.5x - 2.5(x+2) + 1 \]
\[ y = x^2 + 2.5x - 2.5x - 5 + 1 \]
\[ y = x^2 - 4 \]
Это парабола \( y = x^2 - 4 \) при \( x \ge -2 \).
Начало отсчёта для этой части параболы — точка \( x = -2 \).
При \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \). Точка \( (-2, 0) \).
При \( x = 0 \): \( y = 0^2 - 4 = -4 \). Точка \( (0, -4) \).
При \( x = 2 \): \( y = 2^2 - 4 = 0 \). Точка \( (2, 0) \).
Случай 2: \( x + 2 < 0 \), то есть \( x < -2 \).
В этом случае \( |x+2| = -(x+2) \).
Функция примет вид:
\[ y = x^2 + 2.5x - 2.5(-(x+2)) + 1 \]
\[ y = x^2 + 2.5x + 2.5(x+2) + 1 \]
\[ y = x^2 + 2.5x + 2.5x + 5 + 1 \]
\[ y = x^2 + 5x + 6 \]
Это парабола \( y = x^2 + 5x + 6 \) при \( x < -2 \).
Вершина этой параболы находится при \( x = \frac{-5}{2} = -2.5 \).
При \( x = -2.5 \): \( y = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \). Точка \( (-2.5, -0.25) \).
При \( x = -3 \): \( y = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \). Точка \( (-3, 0) \).
При \( x = -4 \): \( y = (-4)^2 + 5(-4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \). Точка \( (-4, 2) \).
Построение графика:
График состоит из двух частей параболы. Левая часть (при \( x < -2 \)) — это \( y = x^2 + 5x + 6 \), вершина в \( (-2.5, -0.25) \). Правая часть (при \( x \ge -2 \)) — это \( y = x^2 - 4 \), вершина оси симметрии \( x=0 \).
Определение значений \( m \) для трёх общих точек:
Прямая \( y = m \) будет иметь ровно три общие точки с графиком, если она проходит через вершину одной из частей параболы и пересекает другую часть.
1. Прямая \( y = m \) проходит через вершину \( (-2.5, -0.25) \) левой части параболы. В этом случае \( m = -0.25 \). Эта прямая пересекает правую часть параболы \( y = x^2 - 4 \) в двух точках (так как \( -0.25 > -4 \)). Итого 1 + 2 = 3 точки.
2. Прямая \( y = m \) проходит через точку \( (-2, 0) \), где две части графика соединяются. В этом случае \( m = 0 \). Эта прямая является осью абсцисс. Она пересекает правую часть параболы \( y = x^2 - 4 \) в двух точках \( (-2, 0) \) и \( (2, 0) \). Левая часть параболы \( y = x^2 + 5x + 6 \) также имеет корень \( x=-3 \), то есть пересекает ось \( x \) в точке \( (-3, 0) \). Всего получается 3 точки: \( (-3, 0), (-2, 0), (2, 0) \). Таким образом, \( m = 0 \) также подходит.
Ответ: \( m = -0.25 \) и \( m = 0 \).
