20. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 30 = 0\).

Решение:

1. Введём замену: \( y = \frac{1}{x} \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - y - 30 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]
3. Найдем корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{2} = 6 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{2} = -5 \]
4. Вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x} \):
   • Случай 1: \( \frac{1}{x} = 6 \) \( \implies x = \frac{1}{6} \)
   • Случай 2: \( \frac{1}{x} = -5 \) \( \implies x = -\frac{1}{5} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{6}, x = -\frac{1}{5} \).