23. В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 120°, BC = 13√3. Найдите АС.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника ABC: \( ∠C = 180^\circ - ∠A - ∠B = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ \).
2. Так как \( ∠A = ∠C = 30^\circ \), треугольник ABC является равнобедренным, и стороны, противолежащие равным углам, равны: \( BC = AB \).
3. По условию \( BC = 13√3 \), следовательно, \( AB = 13√3 \).
4. Для нахождения стороны AC используем теорему синусов: \( \frac{AC}{∇sin(∠B)} = \frac{BC}{∇sin(∠A)} \)
5. Подставим известные значения: \( \frac{AC}{∇sin(120^\circ)} = \frac{13√3}{∇sin(30^\circ)} \)
6. Значения синусов: \( ∇sin(120^\circ) = ∇sin(180^\circ - 60^\circ) = ∇sin(60^\circ) = ∇\frac{√3}{2} \) и \( ∇sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
7. Подставим значения синусов в уравнение: \( \frac{AC}{∇\frac{√3}{2}} = \frac{13√3}{∇\frac{1}{2}} \)
8. \( AC · \frac{2}{√3} = 13√3 · 2 \)
9. \( AC = 13√3 · 2 · ∇\frac{√3}{2} \)
10. \( AC = 13 · (√3 · √3) \)
11. \( AC = 13 · 3 \)
12. \( AC = 39 \).

Ответ: AC = 39.