22. Постройте график функции \( y = |x|(x - 2) – 3x \). Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. При \( x ≥ 0 \):

\( y = x(x - 2) - 3x = x^2 - 2x - 3x = x^2 - 5x \)

Это парабола. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{-5}{2 · 1} = 2.5 \). \( y_v = (2.5)^2 - 5 · 2.5 = 6.25 - 12.5 = -6.25 \).

Начало координат \( (0, 0) \) является точкой графика.

2. При \( x < 0 \):

\( y = -x(x - 2) - 3x = -x^2 + 2x - 3x = -x^2 - x \)

Это парабола. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{-1}{2 · (-1)} = -0.5 \). \( y_v = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25 \).

Построение графика:

График состоит из двух частей парабол. При \( x ≥ 0 \) — ветвь параболы \( y = x^2 - 5x \), при \( x < 0 \) — ветвь параболы \( y = -x^2 - x \).

Определение \( m \):

Прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через:

• Вершину параболы при \( x < 0 \): \( y = 0.25 \).
• Точку пересечения двух ветвей графика, которая соответствует \( x=0 \). При \( x=0 \) обе ветви дают \( y=0 \).
• Минимум параболы при \( x ≥ 0 \): \( y = -6.25 \).

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда \( m = 0.25 \), \( m = 0 \) или \( m = -6.25 \).

Ответ: \( m = 0.25, m = 0, m = -6.25 \).