20. Решите уравнение $$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} - 42 = 0$$.

Пошаговое решение:

1. Пусть $$y = \frac{1}{x}$$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 + y - 42 = 0$$.
2. Решаем квадратное уравнение $$y^2 + y - 42 = 0$$. Используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-42) = 1 + 168 = 169$$.
3. Находим корни: $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$, $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$.
4. Возвращаемся к замене:
• Если $$y = 6$$, то $$\frac{1}{x} = 6$$, откуда $$x = \frac{1}{6}$$.
• Если $$y = -7$$, то $$\frac{1}{x} = -7$$, откуда $$x = -\frac{1}{7}$$.

Ответ: $$x = \frac{1}{6}$$, $$x = -\frac{1}{7}$$