22. Постройте график функции $$y=|x|(x-2)-3x$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим функцию $$y = |x|(x-2) - 3x$$.
2. Случай 1: $$x ≥ 0$$. В этом случае $$|x| = x$$. Функция принимает вид: $$y = x(x-2) - 3x = x^2 - 2x - 3x = x^2 - 5x$$.
3. Это парабола. Найдем вершину: $$x_в = -\frac{-5}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2.5$$. $$y_в = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$$. Вершина параболы: $$(2.5, -6.25)$$.
4. Найдем точки пересечения с осями координат для $$x ≥ 0$$:
• При $$x = 0$$, $$y = 0$$.
• При $$y = 0$$, $$x^2 - 5x = 0 → x(x-5) = 0$$. Корни: $$x=0, x=5$$.
5. Случай 2: $$x < 0$$. В этом случае $$|x| = -x$$. Функция принимает вид: $$y = -x(x-2) - 3x = -x^2 + 2x - 3x = -x^2 - x$$.
6. Это парабола. Найдем вершину: $$x_в = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2} = -0.5$$. $$y_в = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$$. Вершина параболы: $$(-0.5, 0.25)$$.
7. Найдем точки пересечения с осями координат для $$x < 0$$:
• При $$x = 0$$, $$y = 0$$. (Эта точка не принадлежит данному случаю, но является граничной).
• При $$y = 0$$, $$-x^2 - x = 0 → -x(x+1) = 0$$. Корни: $$x=0$$ (не принадлежит случаю $$x<0$$), $$x=-1$$.
8. Построение графика:
• Для $$x ≥ 0$$, строим часть параболы $$y = x^2 - 5x$$ с вершиной $$(2.5, -6.25)$$, проходящей через $$(0,0)$$ и $$(5,0)$$.
• Для $$x < 0$$, строим часть параболы $$y = -x^2 - x$$ с вершиной $$(-0.5, 0.25)$$, проходящей через $$(0,0)$$ и $$(-1,0)$$.
9. Определение значений $$m$$:
10. Прямая $$y=m$$ является горизонтальной линией. Мы ищем значения $$m$$, при которых эта линия пересекает график ровно в двух точках.
11. Анализируя график, видим, что:
• Если $$m > 0.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в одной точке.
• Если $$m = 0.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках (одна из них - вершина $$(-0.5, 0.25)$$).
• Если $$0 < m < 0.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в трех точках.
• Если $$m = 0$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках ($$x=0$$ и $$x=5$$).
• Если $$-6.25 < m < 0$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в четырех точках.
• Если $$m = -6.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках (одна из них - вершина $$(2.5, -6.25)$$).
• Если $$m < -6.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в одной точке.
12. Таким образом, для того чтобы прямая $$y=m$$ имела с графиком ровно две общие точки, $$m$$ должно быть равно значению вершины одной из парабол или точке пересечения с осью $$x$$ для отрицательных значений.
13. Значения $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки: $$m = 0.25$$ (вершина второй параболы) и $$m = -6.25$$ (вершина первой параболы).

Ответ: $$m = 0.25$$, $$m = -6.25$$