23. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Пошаговое решение:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где катеты $$a = 16$$ и $$b = 30$$.
2. Найдем площадь треугольника по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab$$.
3. $$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$$ (единиц площади).
4. Найдем длину гипотенузы $$c$$ по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$.
5. $$c^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$$.
6. $$c = \sqrt{1156} = 34$$ (единиц длины).
7. Теперь найдем площадь треугольника, используя гипотенузу как основание и высоту $$h$$, проведённую к ней: $$S = \frac{1}{2}ch$$.
8. Приравниваем два выражения для площади: $$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$.
9. $$ab = ch$$.
10. $$16 \cdot 30 = 34 \cdot h$$.
11. $$480 = 34h$$.
12. $$h = \frac{480}{34} = \frac{240}{17}$$ (единиц длины).

Ответ: $$\frac{240}{17}$$