20. Решите уравнение $ \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 40 = 0 $.

Question

Вопрос: $Фото задания: 20. Решите уравнение $ \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 40 = 0 $.$ Фото задания

Accepted Answer

Это дробно-рациональное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \frac{1}{x} $. Тогда $ y^2 = \frac{1}{x^2} $. Уравнение примет вид:

$ y^2 + 3y - 40 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ y $ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 $

Найдем корни для $ y $:

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 $

Теперь вернемся к замене $ y = \frac{1}{x} $ и найдем $ x $:

Случай 1: $ y_1 = 5 $

$ \frac{1}{x} = 5 $ → $ x = \frac{1}{5} $

Случай 2: $ y_2 = -8 $

$ \frac{1}{x} = -8 $ → $ x = -\frac{1}{8} $

Проверка: $ x \ne 0 $ для обоих корней.

Ответ: $ \frac{1}{5}; -\frac{1}{8} $

20. Решите уравнение \( \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 40 = 0 \).