20. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Для его решения введем замену переменной.

• Обозначим \( y = \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{x^2} \).
• Подставим это в уравнение:
• \( y^2 + 4y - 12 = 0 \)
• Получилось квадратное уравнение относительно $$y$$. Найдем его корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
• Используем теорему Виета:
• Сумма корней: $$y_1 + y_2 = -4$$
• Произведение корней: $$y_1 imes y_2 = -12$$
• Подбираем корни: $$y_1 = 2$$ и $$y_2 = -6$$.
• Теперь вернемся к переменной $$x$$, подставив найденные значения $$y$$:
• Случай 1: \( y = 2 \)
• \( \frac{1}{x} = 2 \)
• \( 1 = 2x \)
• \( x = \frac{1}{2} \)
• Случай 2: \( y = -6 \)
• \( \frac{1}{x} = -6 \)
• \( 1 = -6x \)
• \( x = -\frac{1}{6} \)
• Проверка:
• При $$x = \frac{1}{2}$$: \( \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \frac{4}{\frac{1}{2}} - 12 = \frac{1}{\frac{1}{4}} + 8 - 12 = 4 + 8 - 12 = 0 \). Верно.
• При $$x = -\frac{1}{6}$$: \( \frac{1}{(-\frac{1}{6})^2} + \frac{4}{-\frac{1}{6}} - 12 = \frac{1}{\frac{1}{36}} - 24 - 12 = 36 - 24 - 12 = 0 \). Верно.

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, x = -\frac{1}{6} \)