14. В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Разбираемся:

Эта задача на арифметическую прогрессию. В ней нам дано, что количество мест в каждом ряду увеличивается на одно и то же число. Это значит, что у нас есть арифметическая прогрессия, где \( a_n \) — количество мест в \( n \)-ом ряду, \( a_1 \) — количество мест в первом ряду, а \( d \) — разность прогрессии (на сколько мест увеличивается ряд).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим разность прогрессии \( d \). У нас есть два известных члена прогрессии: \( a_5 = 25 \) и \( a_9 = 33 \). Используем формулу \( a_n = a_k + (n-k)d \).
• \( a_9 = a_5 + (9-5)d \)
• \( 33 = 25 + 4d \)
• \( 33 - 25 = 4d \)
• \( 8 = 4d \)
• \( d = 2 \) места.
2. Шаг 2: Находим количество мест в первом ряду \( a_1 \). Используем формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \) с известными \( a_5 \) и \( d \):
• \( a_5 = a_1 + (5-1)d \)
• \( 25 = a_1 + 4 \cdot 2 \)
• \( 25 = a_1 + 8 \)
• \( a_1 = 25 - 8 \)
• \( a_1 = 17 \) мест.
3. Шаг 3: Находим количество мест в последнем, 21-м ряду \( a_{21} \).
• \( a_{21} = a_1 + (21-1)d \)
• \( a_{21} = 17 + 20 \cdot 2 \)
• \( a_{21} = 17 + 40 \)
• \( a_{21} = 57 \) мест.

Ответ: 57