14 В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В восьмом ряду 21 место, а в тринадцатом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

1. Обозначим количество мест в ряду как \( a_n \), где \( n \) — номер ряда. Разность прогрессии \( d \) — это количество мест, на которое увеличивается ряд.
2. Из условия известно: \( a_8 = 21 \) и \( a_{13} = 31 \).
3. Используем формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
4. Для \( a_{13} \): \( 31 = a_1 + (13-1)d \) → \( 31 = a_1 + 12d \).
5. Для \( a_8 \): \( 21 = a_1 + (8-1)d \) → \( 21 = a_1 + 7d \).
6. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти \( d \): \( (a_1 + 12d) - (a_1 + 7d) = 31 - 21 \) → \( 5d = 10 \) → \( d = 2 \).
7. Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d=2 \) в уравнение для \( a_8 \): \( 21 = a_1 + 7(2) \) → \( 21 = a_1 + 14 \) → \( a_1 = 7 \).
8. Нам нужно найти количество мест в последнем, 21-м ряду, то есть \( a_{21} \).
9. Используем формулу \( a_{21} = a_1 + (21-1)d \): \( a_{21} = 7 + (20)(2) \) → \( a_{21} = 7 + 40 \) → \( a_{21} = 47 \).

Ответ: 47 мест.