21. Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 100 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая?

Решение:

Это задача на совместную работу, где неизвестны скорости (производительность) и время выполнения работы.

• Обозначим:
• $$x$$ — производительность второй трубы (литров в минуту).
• $$x - 15$$ — производительность первой трубы (литров в минуту).
• \( V = 100 \) литров — объем резервуара.
• \( t_1 \) — время заполнения первой трубой (минут).
• \( t_2 \) — время заполнения второй трубой (минут).
• Мы знаем, что \( t_2 = t_1 - 6 \), то есть первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше.
• Формула работы: \( Работа = Производительность imes Время \).
• Выразим время через объем и производительность:
• \( t_1 = \frac{V}{x-15} = \frac{100}{x-15} \)
• \( t_2 = \frac{V}{x} = \frac{100}{x} \)
• Теперь подставим эти выражения в соотношение времен \( t_2 = t_1 - 6 \):
• \( \frac{100}{x} = \frac{100}{x-15} - 6 \)
• Приведем уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. Умножим все члены на \( x(x-15) \). Учтем, что \( x eq 0 \) и \( x eq 15 \).
• \( 100(x-15) = 100x - 6x(x-15) \)
• \( 100x - 1500 = 100x - 6x^2 + 90x \)
• Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \( 6x^2 - 90x + 1500 = 0 \)
• Сократим уравнение, разделив все члены на 6:
• \( x^2 - 15x + 250 = 0 \)
• Найдем корни этого квадратного уравнения. Воспользуемся дискриминантом: \( D = b^2 - 4ac \)
• \( a=1, b=-15, c=250 \)
• \( D = (-15)^2 - 4 imes 1 imes 250 \)
• \( D = 225 - 1000 \)
• \( D = -775 \)
• Так как дискриминант отрицательный \( D < 0 \), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что в условии задачи, вероятно, есть ошибка, или такое условие не имеет реального решения.
• Перепроверим условие и расчеты.
• Пусть производительность первой трубы $$x$$, тогда второй $$x+15$$.
• Время первой трубы: $$t_1 = rac{100}{x}$$
• Время второй трубы: $$t_2 = rac{100}{x+15}$$
• По условию, вторая труба заполняет на 6 минут быстрее, т.е. $$t_1 - t_2 = 6$$.
• \( rac{100}{x} - rac{100}{x+15} = 6 \)
• Умножим на $$x(x+15)$$:
• \( 100(x+15) - 100x = 6x(x+15) \)
• \( 100x + 1500 - 100x = 6x^2 + 90x \)
• \( 1500 = 6x^2 + 90x \)
• \( 6x^2 + 90x - 1500 = 0 \)
• Разделим на 6:
• \( x^2 + 15x - 250 = 0 \)
• Теперь найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
• \( a=1, b=15, c=-250 \)
• \( D = 15^2 - 4 imes 1 imes (-250) \)
• \( D = 225 + 1000 \)
• \( D = 1225 \)
• \( ext{sqrt}(D) = ext{sqrt}(1225) = 35 \)
• Найдем корни:
• \( x_1 = rac{-b + ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-15 + 35}{2 imes 1} = rac{20}{2} = 10 \)
• \( x_2 = rac{-b - ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-15 - 35}{2 imes 1} = rac{-50}{2} = -25 \)
• Так как производительность не может быть отрицательной, мы отвергаем \( x_2 = -25 \).
• Следовательно, производительность первой трубы \( x = 10 \) л/мин.
• Производительность второй трубы: \( x+15 = 10+15 = 25 \) л/мин.
• Проверим время:
• Время первой трубы: \( t_1 = rac{100}{10} = 10 \) минут.
• Время второй трубы: \( t_2 = rac{100}{25} = 4 \) минуты.
• Разница во времени: \( t_1 - t_2 = 10 - 4 = 6 \) минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: Вторая труба пропускает 25 литров воды в минуту.