20. Решите уравнение: sin²x + 10 sin x cos x – 39 cos² x = 0

Решение:

1. Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x
   e 0 \)). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и подстановка в уравнение дает \( 1 \neq 0 \), значит \( \cos x
   e 0 \).

2. \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{10 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{39 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)

   \( \mathrm{tg}^2 x + 10 \mathrm{tg} x - 39 = 0 \)

3. Введем замену \( t = \mathrm{tg} x \). Получим квадратное уравнение: \( t^2 + 10t - 39 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256 \).
5. Найдем корни \( t \): \( t_1 = \frac{-10 + \sqrt{256}}{2} = \frac{-10 + 16}{2} = \frac{6}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{-10 - \sqrt{256}}{2} = \frac{-10 - 16}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \).
6. Вернемся к замене: \( \mathrm{tg} x = 3 \) или \( \mathrm{tg} x = -13 \).
7. Общее решение: \( x = \mathrm{arctg} 3 + \pi n \) или \( x = \mathrm{arctg} (-13) + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.

Ответ: \( x = \mathrm{arctg} 3 + \pi n \) или \( x = \mathrm{arctg} (-13) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).