20. Тип 20 № 338512 Решите неравенство \( \frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \ge 0 \).

Решение:

Чтобы дробь была неотрицательной (больше или равна нулю), числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки (или числитель равен нулю). В данном случае числитель \( -10 \) отрицателен. Следовательно, знаменатель \( (x-3)^2 - 5 \) должен быть отрицательным, чтобы вся дробь была больше нуля.

\( (x-3)^2 - 5 < 0 \)

\( (x-3)^2 < 5 \)

Извлечем квадратный корень из обеих частей, учитывая, что \( (x-3)^2 \) всегда неотрицательно:

\( -\sqrt{5} < x-3 < \sqrt{5} \)

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

\( 3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5} \)

Также необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю:

\( (x-3)^2 - 5 \ne 0 \)

\( (x-3)^2 \ne 5 \)

\( x-3 \ne \pm\sqrt{5} \)

\( x \ne 3 \pm\sqrt{5} \)

Таким образом, точки \( 3 - \sqrt{5} \) и \( 3 + \sqrt{5} \) исключаются из интервала, но поскольку в исходном неравенстве \( \ge 0 \), а числитель отрицательный, то знаменатель должен быть строго меньше нуля. Поэтому точки, где знаменатель равен нулю, исключаются.

Приблизительные значения: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).

\( 3 - 2.236 < x < 3 + 2.236 \)

\( 0.764 < x < 5.236 \)

Ответ: \( (3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}) \).